Probabilités

I- Expérience aléatoire.

Définitions

Une expérience aléatoire est une situation pouvant conduire à plusieurs issues ou éventualités. Ces éventualités sont en nombre fini (on peut les compter). Pour chaque expérience, une et une seule issue non prévisible se réalise.

Par exemple : le lancer d’un dé à 6 faces classique non-truqué constitue une expérience aléatoire, elle comporte 6 issues : "obtenir 1", "obtenir 2"... "obtenir 6".

Si une issue particulière se réalise fois lors de expériences aléatoires identiques, on dit alors que la fréquence de cette issue est de $\frac k n$ .

Comme en statistiques une fréquence est comprise entre 0 et 1 et la somme des fréquences de toutes les issues d’une expérience aléatoire (quel que soit le nombre de fois qu’on la répète) est 1.

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de chaque issue finit par se stabiliser autour d’un nombre qu’on appellera probabilité de cette issue (ou événement).

II- Probabilité d’un événement.

On n’envisage en seconde que des expériences aléatoires comportant un nombre fini d’éventualités. Pour une expérience aléatoire on note $\Omega$ l’ensemble de ses éventualités, cet ensemble est appelé univers de l’expérience aléatoire.

Définitions

Un événement est une partie de $\Omega$ : $A\subset\Omega$ .

Chaque issue d’un événement réalise cet événement.

L’événement contraire de est noté $\bar A$ .Il est réalisé lorsque n’est pas réalisé.

Un événement qui ne comporte qu’une seule issue est appelé événement élémentaire.

L’événement " ou ", noté $A \cup B$ , est réalisé lorsque l’un au moins des événements et est réalisé.

L’événement " et ", noté $A \cap B$ , est réalisé lorsque les événements et sont réalisés simultanément.

Si $A \cap B=\emptyset$ , alors et sont dits incompatibles.

A chaque événement élémentaire ou issue de l’expérience, on peut associer sa probabilité. A chaque événement on associe sa probabilité : somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

Propriétés

Soit un événement sur l’univers $\Omega$ .

$0 \leq p(A) \leq 1$ ; $p(\emptyset)=0$ et $p(\Omega)=1$ .

$p(A)+p( \bar A)=1$ , plus utilisé sous la forme $p(\bar A)=1-p(A)$ .

Soient et deux événements de $\Omega$ . On a $p(A\cup B)+p(A\cap B)=p(A)+p(B)$ .

En cas d’équiprobabilité (lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité), si comporte issues favorables et si est le nombre d’issues de l’expérience aléatoire, alors $p(A)=\frac k n$ . ( $\frac {Nombre de cas favorables}{Nombre de cas possibles}$ ).

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