Math et Leroy

Stats seconde

JD Leroy — 2010-05-25T16:00:50Z

I- Rappels et définitions

Une série statistique sera constituée de valeurs rangés dans l'ordre croissant et d'effectifs correspondants , i variant de 1 à n.

L'effectif total de cette série n'est pas n mais , c'est-à-dire la somme de tous les effectifs.

La médiane est la ème valeur si N est impair et la moyenne de la ème et de la ème si N est pair.

La moyenne de cette série est

L'étendue de cette série est .

Le mode de cette série statistique est la valeur ou donnée de plus grand effectif.

II- Propriétés de la moyenne

Soit la série constituée des , alors . On appelle cette propriété : linéarité de la moyenne.

Sans calculatrice, il est souvent plus facile d'effectuer une transformation affine, puis de calculer la moyenne et enfin d'effectuer la transformation réciproque.

III- Répartition par classes

Lorsque les valeurs sont réparties par classes (intervalles), on utilise les milieux de chaque classe pour les calculs.

Cas particuliers :

La médiane est obtenue graphiquement grâce aux effectifs ou fréquences cumulé(e)s croissant(e)s.

On ne parle plus de mode mais de classe modale.

Objets de différentes natures.

JD Leroy — 2009-12-07T08:59:04Z

Attention, en mathématiques, certains résultats et qualificatifs ne s'appliquent qu'à certains types d'objets.

Colinéaires s'applique à vecteurs, c'est une relation entre 2 vecteurs, on ne peut pas dire qu'un vecteur est colinéaire.

Parallèles s'applique à des droites ou des plans mais pas à des vecteurs.

Un point n'est pas égal à ses coordonnées.

Un vecteur n'est pas égal à sa longueur.

Relisez vos phrases et demandez vous si elles ont un sens...si elles n'en ont pas il y a un problème, si elles en ont plusieurs, il y a un problème aussi.

Probabilités

JD Leroy — 2009-11-25T17:18:04Z

I- Expérience aléatoire.

Définitions

Une expérience aléatoire est une situation pouvant conduire à plusieurs issues ou éventualités. Ces éventualités sont en nombre fini (on peut les compter). Pour chaque expérience, une et une seule issue non prévisible se réalise.

Par exemple : le lancer d'un dé à 6 faces classique non-truqué constitue une expérience aléatoire, elle comporte 6 issues : "obtenir 1", "obtenir 2"... "obtenir 6".

Si une issue particulière se réalise fois lors de expériences aléatoires identiques, on dit alors que la fréquence de cette issue est de .

Comme en statistiques une fréquence est comprise entre 0 et 1 et la somme des fréquences de toutes les issues d'une expérience aléatoire (quel que soit le nombre de fois qu'on la répète) est 1.

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de chaque issue finit par se stabiliser autour d'un nombre qu'on appellera probabilité de cette issue (ou événement).

II- Probabilité d'un événement.

On n'envisage en seconde que des expériences aléatoires comportant un nombre fini d'éventualités. Pour une expérience aléatoire on note l'ensemble de ses éventualités, cet ensemble est appelé univers de l'expérience aléatoire.

Définitions

Un événement est une partie de : .

Chaque issue d'un événement réalise cet événement.

L'événement contraire de est noté .Il est réalisé lorsque n'est pas réalisé.

Un événement qui ne comporte qu'une seule issue est appelé événement élémentaire.

L'événement " ou ", noté , est réalisé lorsque l'un au moins des événements et est réalisé.

L'événement " et ", noté , est réalisé lorsque les événements et sont réalisés simultanément.

Si , alors et sont dits incompatibles.

A chaque événement élémentaire ou issue de l'expérience, on peut associer sa probabilité. A chaque événement on associe sa probabilité : somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

Propriétés

Soit un événement sur l'univers .

; et .

, plus utilisé sous la forme .

Soient et deux événements de . On a .

En cas d'équiprobabilité (lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité), si comporte issues favorables et si est le nombre d'issues de l'expérience aléatoire, alors . ().

Repérage et vecteurs (l'essentiel)

JD Leroy — 2009-11-21T15:01:41Z

I.Repérage

En dehors du repérage pur et des définitions de base, 2 formules à connaître impérativement :

Celle qui donne les coordonnées du milieu d'un segment :

Si est le milieu de alors, avec les notations habituelles, on a :

et .

Et celle qui donne la longueur d'un segment :

Avec les notations habituelles, on a :

II. Vecteurs

En dehors de la définition d'un vecteur à partir de la translation, de l'addition de vecteurs, de la multiplication d'un vecteur par un réel et de la définition de la colinéarité , les points à retenir particulièrement :

Avec les notations habituelles : .

Deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement si .

2 théorèmes importants concernant la colinéarité :

et sont colinéaires si et seulement si A,B et C sont alignés.

et sont colinéaires si et seulement si (AB) et (CD) sont parallèles.

Un dernier point, c'est quoi une norme ? En langage courant, c'est la longueur d'un vecteur, on la note : . Si alors .

Corrigé partiel devoir commun 1er trimestre

JD Leroy — 2009-11-21T07:30:59Z

Bonjour à tous, j'espère que N.R. ne sera pas le seul à me lire ce week-end.

Je mettrai ce corrigé partiel en ligne au fur et à mesure de la matinée.

Stop au blabla, entrons dans le vif du sujet.

Exercice 1

La question 1 ne sera pas corrigée ici, les remarques sur vos copies devraient vous permettre de mener les calculs correctement jusqu'au bout. Si ce n'est pas le cas, retournez faire les exercices déjà faits en classe et apprenez vos identités remarquables.

2 a : La forme la mieux adaptée est la forme [3] car son utilisation ne demande aucun calcul : . Je laisse ce calcul en ligne pour ne pas m'embêter avec la mise en page mais je vous "déconseille" de mettre 2 signes sur la même ligne de calcul.

2 b :

2 c : Pour résoudre efficacement l'idéal serait que f soit sous forme de produit (évidemment nul à cause du "=0"), ce qui serait bien pratique pour appliquer la règle du produit nul.

Commençons la résolution :

on utilise la forme [2]

équivaut à

équivaut à ou (Règle du produit nul)

équivaut à ou

Les solutions de sont et .

2 d : Ici le membre de droite de l'équation n'est pas 0 mais 6, si l'on pouvait avoir aussi un 6 comme terme constant dans le membre de gauche, on pourrait, en simplifiant ces 6, mettre x en facteurs. Cela tombe bien, la forme [3] se termine par un 6.

on utilise la forme [2]

équivaut à

équivaut à ou (Règle du produit nul)

équivaut à ou

Les solutions de sont et .

3 : donc le point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées . Les solutions de sont et donc les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées et .

Exercice 2

Si la courbe était un cercle de rayon r, le point d'abscisse aurait 2 images par f (une positive et une négative), ce qui est impossible car un réel ne peut avoir qu'une seule image par une fonction. La proposition 1 est donc vraie.

la fonction n'est donc pas définie en ainsi, n'étant pas dans le domaine de définition, ne peut pas être l'antécédent de quelque réel que ce soit. La proposition 2 est donc fausse.

équivaut à

L'ensemble des solutions est donc , la proposition 3 est donc fausse. Pour certains : attention multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif la fait changer de sens.

Exercice 4

oui, exercice 4, l'exercice 3 a été suffisamment corrigé sur vos copies.

Et cet exercice ne sera corrigé qu'à partir de (et par conséquent jusqu'à) la question 6. Toute personne qui me demandera une correction des 5 premières questions sera renvoyée...à ses exercices et à son cours.

Pour la 6a, il suffit de calculer et de conclure. Pour la 6b, c'est f(7) qu'il faut calculer.

6 c : Les antécédents de par sont les solutions de .

équivaut à

équivaut à ou ou (Règle du produit nul)

équivaut à ou ou

Les antécédents de par sont , et .

Exercice 5

Désolé, l'activité GeoGebra ne peut pas démarrer. Assurez-vous que Java 1.4.2 (ou version supérieure) est installée et activeée sur votre navigateur (Cliquez ici pour installer Java maintenant !)
Créé avec GeoGebra

1:Soit le couple de coordonnées de I. Je constate un léger problème de texte ici, le point I est le point de coordonnées défini par le repère.

de même pour

On obtient après des calculs très rapides : .

2 : ABCD est un parallélogramme si I est aussi le milieu de [AC] i.e.

, de même pour . Après résolution de ces deux équations, on obtient : et . d'où le résultat .

3 :

On obtient de même et .

Ainsi , donc d'après le théorème de Pythagore, AIB est rectangle en I. (On aura constaté que AIB n'est pas isocèle).

4 : AIB est rectangle en I donc les diagonales de ABCD sont perpendiculaires, de plus c'est un parallélogramme, donc c'est un losange.

5 :

d'où

Ce résultat était prévisible puisqu'un losange a ses côtés égaux.

Exercice 6

corrigé en classe.

Devoir commun

JD Leroy — 2009-11-17T21:07:46Z

Bonsoir à tous ceux qui me liront après avoir regardé le pire navet de tous les temps sur W9.

J'ai fini de corriger le devoir commun et vos notes sont sur scolinfo mais vous ne pouvez surement pas encore les consulter, voici un résumé statistique des résultats :

min=3,5 ; max=12,5 ; moyenne=9,24. Seulement 9 personnes ont la moyenne, et 4 personnes ont une note strictement inférieure à 8.

Commentaire pour l'ensemble de la classe : peut et doit mieux faire.

Vous pouvez obtenir votre note rapidement en m'envoyant un mail avant 23H ce soir à staeleves@mathetleroy.com

A jeudi.

PS : ils font très fort sur W9 : lundi XFactor, mardi Un ticket pour l'espace...un gage de qualité pour cette chaine et son image par symétrie horizontale. Doucement monsieur, on ne s'emballe pas, ça n'a rien à voir avec le reste. Quoique, symétrie horizontale, ça reste des maths.

Devoir des vacances de la Toussaint. (correction)

JD Leroy — 2009-10-29T05:25:54Z

Avez-vous cherché avant de regarder la correction ?

Exercice 1 :

et .

Ces fonctions sont bien différenciées en considérant l'image de 1 par chacune, ainsi, graphiquement, passe par le point de coordonnées et correspond par conséquent à . De même, correspond à et à .

Exercice 2 :

1. f est définie sur .

2. Le point de d'abscisse 0 a pour ordonnée 2 donc , de même .

3. On trace la droite d'équation , la solution de l'équation est l'abscisse du point d'intersection de cette droite et de , c'est-à-dire .

(Faire figurer la droite en trait plein sur le graphique et utiliser des pointillés pour déterminer l'abscisse du point d'intersection)

On trace la droite d'équation , les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de cette droite et de , c'est-à-dire et .

4. Les solutions de l'inéquation sont les abscisses des points de situés au dessus de la droite d'équation , c'est-à-dire .

Exercice 3 :

(identités remarquables)

Exercice 4 :

Exercice 5 :

donc est un triangle isocèle en . est le plus petit côté du triangle, on ne peut donc pas avoir , par conséquent, d'après le théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle en .

est isocèle non rectangle.

Devoir des vacances de la Toussaint.

JD Leroy — 2009-10-21T16:26:57Z

Je vous souhaite des vacances studieuses pour préparer au mieux vos devoirs de la rentrée.

Pour commencer, quelques indices : (à ne regarder que si vous êtes vraiment bloqué).

Exercice I :

1- par le calcul, ça se fait tout seul.

2- Comparer les images obtenues par le calcul à celles que vous pouvez obtenir graphiquement.

3- Il n'y a pas de question 3 mais sauriez-vous résoudre graphiquement, puis par le calcul, l'équation ?

Exercice II :

1- Quel est l'ensemble des abscisses de tous les points de la courbe ?

Les autres questions ne méritent pas qu'on donne un indice (voir le cours et les exercices faits en classe)... La question 1 n'en méritait pas non plus :).

Exercice III :

Pour tous, procéder en deux étapes, par exemple, pour :

Développper dans un premier facteur et dans un deuxième puis développer le produit de ces 2 facteurs.

Exercice IV :

Penser aux "coups du -1 et du +1"

3 identités remarquables, ça arrive...

Exercice V :

C'est devenu un classique en R6, pas d'indice.

Ce devoir constitue une révision non exhaustive en vue du devoir de la rentrée !!!

Remarque moralisatrice : Travaillez toutes les matières pendant vos vacances, elles sont aussi importantes les unes que les autres.

Donald Knuth

JD Leroy — 2009-06-20T13:52:56Z

Beware of bugs in my code ; I have only proved it correct. I've not tried it. - Citations

Culture Math

JD Leroy — 2009-06-20T13:47:41Z

Recueil d'articles publiés dans Tangente concernant les mathématiques dans la littérature, la musique et les beaux arts...tellement intéressant que je vais approfondir quelques articles, je viens d'emprunter La vie Mode d'Emploi de Perec, je le commencerai après les surveillances de Bac pendant lesquelles je dois être attentif à ce qui se passe dans la salle. - Explorations scientifiques du moment